丘.10.7 正交群,酉群,辛群

1. 定义1设是一个非空集合,如果在上定义了一种代数运算,叫做乘法,并且满足下列法则:
   • (结合律);
   • 中有一个元素,使得;
   • 对于中每一个元素,都有中一个元素,使得 那么称为一个群。容易证明,群中元素是唯一的,称是的单位元;元素是唯一的,称是的逆元,记作。 如果群的运算还满足交换律,即,那么称是交换群,或Abel群.对于交换群,有时把运算叫做加法。
2. 由于群的运算满足结合律,因此对于任意,可以定义的方幂 注意:一般地,。对于Abel群才有
3. 若群的元素只有有限多个,则称是有限群。此时,中元素的个数称为的阶, 记作。
4. 维欧几里得空间上所有正交变换组成的集合对于映射的乘法成为一个群,记作;行列式为1的正交变换组成的集合对于映射的乘法成为一个群,记作。
5. 维酉空间上所有酉变换组成的集合对于映射乘法成为一个群,记作;行列式为1的酉变换组成的集合对于映射的乘法成为一个群,记作。
6. 域上维正则的正交空间上所有正交变换组成的集合对于映射乘法成为一个群,记作。
7. 特征不为2的域上维正则辛空间上所有辛变换组成的集合对于映射乘法成为一个群,记作。
8. 上述定义的群同理可以定义其矩阵的群，容易验证，二者同构
9. 以上矩阵的群都称为典型群
10. 定义2如果群的非空子集对于的运算也成一个群,那么称为的子群, 记作,
11. 定理1群的非空子集是一个子群的充分必要条件是,由,可以推出.
12. 定义3设和是两个群,如果存在到的一个双射,使得,那么称是到的一个同构映射(简称为同构);此时称同构于,记作
13. 设是任一非空集合,到自身的所有双射组成的集合,对于映射的乘法成为一个群,称它为上的全变换群。的任一子群称为上的变换群。当为个元素的有限集合时,到自身的一个双射称为一个n元置换,上的全变换群称为n元对称群,记作,的子群称为置换群。
14. 定理2(Cayley定理)任何一个群都同构于一个变换群。
15. 推论1任何一个有限群都同构于一个置换群。